ทฤษฎีไร้ระเบียบ พลิกมุมมองต่อโลกธรรมชาติสู่กระแสวิทยาศาสตร์ใหม่

Introducing chaos

ทฤษฎีไร้ระเบียบ  พลิกมุมมองต่อโลกธรรมชาติสู่กระแสวิทยาศาสตร์ใหม่

เมธาวี เลิศรัตนา แปล    Ziauddin Sardar  เขียน    Iwona Abrams  ภาพประกอบ

สารบัญ

หน้า 2

หน้า 3

หน้า 4

หน้า 5

หน้า 6

หน้า 7

หน้า 8

หน้า 9

หน้า 10

*แสดงภาพให้เห็นถึงลักษณะการเปลี่ยนแปลงสองลักษณะ คือ การเปลี่ยนแปลงแบบปกติหรือคาดการณ์ได้ เช่น การเปลี่ยนแปลงจากทารกไปเป็นเด็ก และโตขึ้นเป็นผู้ใหญ่ จนกระทั่งถึงวัยชรา อีกลักษณะของการเปลี่ยนแปลงไปเป็นเถ้าหรือเน่าเปื่อย จนไม่อาจจะคาดเดาลักษณะที่จะเปลี่ยนไปได้

หน้า 11

หน้า 12

หน้า 13

หน้า 14

หน้า 15

หน้า 16

หน้า 17

หน้า 18

หน้า 19

หน้า 20

หน้า 21

หน้า 22

หน้า 23

หน้า 24

*  แสดงภาพของเรขาคณิตเสี้ยวส่วน และความไร้ระเบียบในธรรมชาติใกล้ตัวเรานั่นคือ เกล็ดหิมะ จะมีลักษณะของเรขาคณิตเสี้ยวส่วน ส่วนเส้นแสดงความดันบนแผนที่สภาพภูมิอากาศ จะไม่สามารถคาดเดาลักษณะในเวลาต่อมาได้ เพราะความไม่แน่นอนเพียงเล็กน้อยในสภาพอากาศปัจจุบัน จะส่งผลให้เกิดความแตกต่างของลักษณะของเส้นเหล่านี้ได้อย่างมากมาย

หน้า 25

หน้า 26

*  แสดงภาพให้เห็นถึงเส้นกราฟสองเส้น ลักษณะคล้ายคลื่นที่เริ่มต้นที่จุดล่างซ้ายขึ้นไปยังด้านบนขวามือ กราฟทั้งสองมีความแตกต่าง ณ จุดเริ่มต้นเพียงเล็กน้อย แต่เมื่อเส้นกราฟดำเนินต่อไปยังด้านบนขวา จะเห็นความแตกต่างที่มากขึ้นอย่างรวดเร็ว จนกระทั่งมีลักษณะตรงข้ามกันได้ในเวลาอันรวดเร็ว ในสภาพนี้เรียกว่า สภาพไร้ระเบียบ หรือ chaos

หน้า 27

หน้า 28

หน้า 29

หน้า 30

หน้า 31

หน้า 32

หน้า 33

หน้า 34

หน้า 35

หน้า 36

หน้า 37

หน้า 38

หน้า 39

หน้า 40

หน้า 41

หน้า 42

หน้า 43

หน้า 44

หน้า 45

หน้า 46

หน้า 47

หน้า 48

หน้า 49

หน้า 50

หน้า 51

หน้า 52

หน้า 53

หน้า 54

หน้า 55

หน้า 56

หน้า 57

หน้า 58

หน้า 59

* แสดงลักษณะกึ่งคาบของการเคลื่อนไหว ภาพประกอบไปด้วยเส้นโค้งแสดงการเคลื่อนไหวสามเส้น เส้นด้านใน เส้นระหว่างกลาง และเส้นด้านนอก เส้นระหว่างกลางจะเป็นเส้นแสดงการเคลื่อนไหวแบบมีคาบ กล่าวคือ มีการเคลื่อนที่แบบคาบรอบซ้ำรอยเดิมในขณะที่เส้นด้านในและเส้นด้านนอกจะไม่ซ้ำรอยเดิม แต่มีเส้นทางที่ใกล้เคียงกับเส้นที่มีคาบ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีลักษณะการเคลื่อนที่เกือบซ้ำรอยเดิม ลักษณะเช่นนี้เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบกึ่งคาบ

หน้า 60

หน้า 61

หน้า 62

หน้า 63

หน้า 64

หน้า 65

หน้า 66

หน้า 67

หน้า 68

หน้า 69

หน้า 70

*    ในหน้านี้จะกล่าวถึงดุลยภาพและการเปลี่ยนผ่าน ระหว่างความมีระเบียบกับความไม่มีระเบียบ มีภาพแสดงสองภาพคือ ภาพด้านบนแสดงดุลยภาพของระบบ ระบบในที่นี้แสดงถึงประชากร ในสภาพสมดุลนั้น จำนวนประชากรในระบบจะไม่เปลี่ยนรวมถึงจำนวนประชากรที่วัยต่าง ๆ กันก็คงที่ด้วย

      ในสภาวะที่ห่างไกลจากดุลยภาพ เช่น ในสภาวะที่จำนวนประชากรที่เกิดใหม่ต่างจากจำนวนประชากรที่แก่ตายไปเป็นอย่างมากนั้น จำนวนประชากรในระบบจะเปลี่ยนแปลงไป หากประชากรที่เกิดใหม่มีมากกว่าประชากรที่แก่ตายมาก ๆ แล้วจำนวนประชากรในวัยเยาว์จะมีแนวโน้มสูงขึ้น หากประชากรที่เกิดใหม่มีน้อยกว่าประชากรที่แก่ตาย จะทำให้ประชากรสูงวัยมีจำนวนลดลง ระบบจะไม่คงตัว จะมีการเปลี่ยนแปลงหรือมีพลวัตขึ้น จะมีการจัดกลุ่มเพื่อทำหน้าที่ควบคุมประชากร หรือมีการควบคุมประชากรโดยธรรมชาติ เช่นสภาพแออัดทำให้สภาพแวดล้อมเสื่อมโทรมก่อให้เกิดโรคระบาด เป็นต้น จนต้องเกิดการจัดกลุ่มเพื่อกำจัดโรคต่อไปอีก

     โครงสร้างประชากรมีการจัดระเบียบใหม่ และเกิดความวุ่นวายสลับไปมาอย่างคาดเดาได้ยาก โครงสร้างที่เกิดขึ้นใหม่นี้จะขับเคลื่อนได้ต้องมีการจัดสรรทุน  หรือในระบบทางฟิสิกส์จะต้องขับเคลื่อนด้วยพลังงาน ทำให้มองได้ว่า โครงสร้างระบบใหม่นี้เป็นตัวกระจายพลังงานหรือเงินทุนออกไปเรียกว่า โครงสร้างกระจัดกระจาย เช่น แรงเสียดทานเป็นโครงสร้างที่กระจายความร้อนออกไป เป็นต้น

หน้า 71

* สื่อถึงลำดับของเหตุการณ์ที่ต้องบ่งบอกได้ด้วยสิ่งที่เรียกว่า เวลา เป็นที่ทราบกันในเชิงฟิสิกส์ว่า เวลาจะดำเนินไปในทิศทางที่เอกภพหรือระบบปิดมีความยุ่งเหยิง หรือเอนโทรปีมากขึ้น พริโกจินต้องการอธิบายว่า โครงสร้างที่มีระเบียบใหม่นี้ถูกสร้างขึ้นเองได้อย่างไร เพราะระบบเองจะดำเนินไปตามลำดับที่มีความเป็นระเบียบน้อยลง สิ่งที่เขาต้องแสดงให้เห็นก็คือ การสร้างโครงสร้างใหม่ที่มีระเบียบนั้นจะทำให้สิ่งแวดล้อมมีความยุ่งเหยิงมากขึ้นกว่าเดิม เช่น มีการกระจัดกระจายความร้อน หรือมีการกระจัดกระจายเงินทุนออกไปนั่นเอง

หน้า 72

*  แสดงภาพให้เห็นแนวความคิดของพริโกจินที่กล่าวว่า การดำเนินไปในทางเดียวนั้น เกิดจากการดำเนินกลับไปมาได้ทั้งสองทิศทาง เช่นเดียวกันกับล้อรถที่หมุนไปข้างหน้าได้และหมุนถอยหลังกลับได้ แต่การหมุนไปข้างหน้าที่มากกว่าการถอยหลัง จะทำให้รถเคลื่อนที่ไปข้างหน้าทางเดียวได้

หน้า 73

*  แสดงลำดับที่คาดเดาได้จากทิศทางของเวลาที่ดำเนินไปตามการเพิ่มขึ้นของความยุ่งเหยิง การเปลี่ยนแปลงในทางเดียวนี้เป็นที่เข้าใจได้

หน้า 74

หน้า 75

หน้า 76

หน้า 77

หน้า 78

หน้า 79

*     แสดงเส้นแยกของเมย์ (ดูรายละเอียดในหน้า ๖๔) จะเห็นได้ว่าในช่วงต้นนั้น เส้นแยกจะแยกจาก หนึ่งเป็นสอง สี่ แปด ...จนในที่สุดกลายเป็นเส้นทึบหรือไร้ระเบียบ จากนั้น จะเห็นเป็นช่องว่างอีกครั้ง แต่มีเส้นปรากฏอยู่ในช่วงว่างสามเส้น หลังจากช่องว่างสั้น ๆ จะปรากฏเป็นเส้นทึบของความไร้ระเบียบอีกครั้ง แต่หากขยายกราฟต่อไปอีก จะเห็นช่องว่างที่มีเส้นแห่งความเป็นระเบียบห้าเส้น เจ็ดเส้น ... สลับกับความไร้ระเบียบ

     กราฟดังกล่าวนี้ แสดงให้เห็นตามแนวความคิดของเทียน เยียน ลี และเจมส์ ยอค ว่าในช่วงของความไร้ระเบียบ จะมีการจัดระเบียบซ่อนอยู่ด้วยคาบเป็นเลขคี่

หน้า 80

หน้า 81

หน้า 82

หน้า 83

หน้า 84

หน้า 85

หน้า 86

หน้า 87

หน้า 88

หน้า 89

หน้า 90

*  แสดงภาพดาวเคราะห์สามดวง ชี้ให้เห็นถึงปัญหาของดาวสามดวงที่ทราบกันดีว่าถึงแม้เราจะสามารถคาดการณ์ล่วงหน้าถึงการเคลื่อนที่ระหว่างดาวสองดวงได้อย่างแม่นยำเพียงใดก็ตาม ปวงกาเรพบว่า หากเปลี่ยนเป็นดาวสามดวงแล้ว จะไม่สามารถคาดการณ์ถึงตำแหน่งที่แน่นอนของดาวแต่ละดวงได้อย่างแม่นยำ เพราะการเปลี่ยนแปลงจุดเริ่มต้นของดาวแต่ละดวงเพียงเล็กน้อย จะเปลี่ยนแปลงตำแหน่งสุดท้ายของการเคลื่อนที่ได้อย่างมากมาย

หน้า 91

หน้า 92

.

*  ภาพแสดงวงโคจรของมวลสองก้อนเล็ก ๆ รบมวลก้อนใหญ่ ซึ่งเป็นปัญหาของมวลสามก้อน ภาพต้องการแสดงให้เห็นว่า เมื่อคาบวงโคจรของมวลก้อนเล็กทั้งสองก้อนรอบมวลใหญ่มีอัตราส่วนต่อกันอย่างง่ายแล้ว จะทำให้วงโคจรของมวลทั้งสองก้อนนี้ไม่เสถียร โดยจะกวัดแกว่งไปมาไม่ซ้ำรอยเดิม

หน้า 93

หน้า 94

หน้า 95

หน้า 96

หน้า 97

หน้า 98

หน้า 99

*  แสดงภาพจินตนาการของพลังค์ ที่ได้ตัดแบ่งพลังงานของรังสีที่มีอย่างต่อเนื่องออกเป็นก้อน ๆ ที่มีขนาดแปรผันตรงกับความถี่ของรังสี ค่าคงที่ของการแปรผัน เรียกว่า ค่าคงที่ของพลังค์

หน้า 100

หน้า 101

*     แสดงภาพของ หลุยส์ เดอ บรอก์ย ที่เป็นคนคิดค้นว่า อนุภาคแสดงความเป็นคลื่นได้ และ แอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ ที่ค้นพบสมการคลื่นตามแนวความคิดของเดอ บรอก์ย และมักซ์ บอร์น ที่เป็นคนเข้าใจความหมายของฟังก์ชั่นคลื่นที่ได้จากสมการคลื่นของชเรอดิงเงอร์

       ภาพยังได้แสดงให้เห็นการนำแนวความเป็นคลื่น โดยโคจรอยู่ในระยะที่ทำให้คลื่นของมันบรรสานสอดคล้องกัน หรือมีจำนวนลูกคลื่นที่เป็นจำนวนเต็ม สมการที่อยู่ใต้ภาพของชเรอดิงเงอร์ เป็นสมการคลื่นที่เขาคิดค้นขึ้นมา ส่วนภาพจุดใต้รูปของมักซ์บอร์นเป็นจุดที่แสดงโอกาสที่จะพบกับอิเล็กตรอนที่ตำแหน่งต่าง ๆ ตามแนวความคิดของเขา

หน้า 102

*    แผนภาพในหน้านี้ ชี้ให้เห็นการเชื่อมต่อกันระหว่างขอบเขตของฟิสิกส์แบบเก่า (Classical) กับฟิสิกส์ควอนตัม (Quantum) สิ่งที่ผู้เขียนต้องการให้มองคือ ถึงแม้พฤติกรรมของอนุภาคภายใต้ขอบเขตฟิสิกส์เก่า และขอบเขตของควอนตัมมีความเป็นระเบียบที่ดีมาก กล่าวคือ สามารถทำนายปรากฏการณ์ได้อย่างแม่นยำแล้ว แต่ความเป็นระเบียบในขอบเขตทั้งสองนี้ก็แตกต่างกัน นั่นคือ ความสามารถทำนายผลลัพธ์ได้ในทุก ๆ การทดลอง แต่ความสามารถในการคาดการณ์ในขอบเขตควอนตัมจะหมายถึงการที่เราสามารถทำนายค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ที่ได้จากการทดลองแบบเดียวกันหลาย ๆ ครั้ง โดยแต่ละครั้งของการทดลองจะไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ออกมาได้

       ความเป็นระเบียบที่แตกต่างกันในขอบเขตที่แต่งต่างกันนี้ อาจจะถูกทำลายลงในขณะที่อยู่ในรอยต่อของทั้งสองขอบเขต (ผลลัพธ์ของการศึกษานี้ ปรากฏอยู่ในหน้า ๑๐๕)

หน้า 103

หน้า 104

หน้า 105

หน้า 106

หน้า 107

หน้า 108

หน้า 109

หน้า 110

หน้า 111

*  แสดงกราฟความสัมพันธ์ของราคาและผลผลิตที่จำหน่ายได้ ที่มีลักษณะของความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงตามทฤษฎีเศรษฐกิจเดิม

หน้า 112

หน้า 113

หน้า 114

หน้า 115

หน้า 116

หน้า 117

หน้า 118

หน้า 119

หน้า 120

หน้า 121

หน้า 122

หน้า 123

หน้า 124

หน้า 125

หน้า 126

หน้า 127

หน้า 128

หน้า 129

หน้า 130

หน้า 131

หน้า 132

หน้า 133

หน้า 134

หน้า 135

หน้า 136

*  แสดงภาพสถาปัตยกรรมแบบบารอค ที่ย่อส่วนเอาภาพโครงสร้างขนาดใหญ่มาใส่ซ้อนเข้าไปเป็นรายละเอียดในส่วนหนึ่งของโครงสร้างดังกล่าว เช่น นำเอกลักษณะของโครงสร้างของชั้นอาคารมาย่อส่วนเป็นราวระเบียงภายในชั้นนั้น เป็นต้น

หน้า 137

หน้า 138

หน้า 139

หน้า 140

หน้า 141

หน้า 142

หน้า 143

หน้า 144

หน้า 145

หน้า 146

หน้า 147

หน้า 148

หน้า 149

หน้า 150

หน้า 151

หน้า 152

หน้า 153

หน้า 154

หน้า 155

หน้า 156

หน้า 157

หน้า 158

หน้า 159

หน้า 160

หน้า 161

หน้า 162

หน้า 163

หน้า 164

หน้า 165

หน้า 166

หน้า 167

หน้า 168

หน้า 169

หน้า 170

หน้า 171

หน้า 172

หน้า 173

หน้า 174

หน้า 175

หน้า 176

หน้า 177

หน้า 178

หน้า 179

หน้า 180

หน้า 181

หน้า 182

หน้า 183

หน้า 184

หน้า 185

หน้า 186

หน้า 187

หน้า 188

หน้า 189

หน้า 190

หน้า 191

หน้า 192

หน้า 193

หน้า 194

หน้า 195

หน้า 196

หน้า 197

 



 

หน้า 198

อภิธานศัพท์

พลวัต (Dynamic) หน้า ๑๐

พลวัตคือ การเคลื่อนไหว การเคลื่อนไหวนี้มีได้ทั้งการเคลื่อนไหวที่สังเกตเห็นได้ และการเคลื่อนไหวที่สังเกตไม่ได้

                ตัวอย่างของการเคลื่อนไหวที่สังเกตเห็นได้ก็คือ การเคลื่อนที่ของก้อนหินที่ตกลงมาจากที่สูง การเจริญเติบโตของต้นไม้ (การเติบโตของต้นไม้จะเป็นการเคลื่อนไหวที่สังเกตได้ยาก แต่ก็สังเกตได้ โดยการเปรียบเทียบความสูงที่เวลาต่าง ๆ กันนาน ๆ เช่น ความสูง ณ ปีที่หนึ่ง ปีที่สอง เป็นต้น) อะไรก็ตามที่ไม่เป็นเหมือนเดิม หรือไม่อยู่ในที่เดิมถือเป็นการเคลื่อนไหวที่สังเกตได้

                ส่วนการเคลื่อนไหวที่สังเกตไม่ได้นั้น จะเป็นการเคลื่อนไหวที่ระดับที่เกินขอบเขตของประสาทสัมผัสของเราจะรับรู้ได้ เช่นการเคลื่อนไหวของอะตอม ตัวอย่างเช่น ถ้าเราอยู่ในห้องที่ปิดสนิท โดยไม่มีอากาศถ่ายเทนั้น เราจะรู้สึกว่าอากาศหยุดนิ่งไม่เคลื่อนไหว แต่แท้ที่จริงแล้ว โมเลกุลของอากาศยังคงเคลื่อนไหวไปมาอย่างรวดเร็วตลอดเวลา การอธิบายการเคลื่อนที่ในระดับอะตอมหรือโมเลกุลนั้น จะใช้ศาสตร์ของพลวัตโมเลกุล (Molecular dynamics)

การเคลื่อนที่แบบเป็นรอบ (Periodic) หน้า ๑๔

                คือการเคลื่อนที่ ที่เริ่มต้นจากจุดใดจุดหนึ่งที่เวลา t แล้วจะมาบรรจบที่เดิม หรืออยู่ในสภาพที่เหมือนเดิมที่เวลานั่นคือ t+T เมื่อเวลาผ่านไปจากจุดเริ่มต้นเท่ากับ T นั่นเอง เราเรียกว่า T  นี้ว่าคาบ Period

                ตัวอย่างเช่น เข็มนาฬิกาจะมีการเคลื่อนที่แบบ Periodic  เพราะว่าไม่ว่าเข็มนาฬิกาจะเริ่มต้นที่จุดไหน (เวลาใด) ก็ตาม เข็มนาฬิกาดังกล่าวจะกลับมาอยู่ในลักษณะเดิมเมื่อเวลาผ่านไปอีก ๑๒ ชั่วโมง เรียกว่า เข็มนาฬิกาเป็นการเคลื่อนที่แบบเป็นรอบที่มีคาบ ๑๒  ชั่วโมงนั่นเอง

การสะท้อนกลับ (Feed back) หน้า ๒๐

                ทั้งในโลกของพุทธและโลกวิทยาศาสตร์นั้น เราจะถือว่าสิ่งต่าง ๆ ดำเนินไปตามหลักของ เหตุและผล โดย เหตุ จะขับเคลื่อนสิ่งต่าง ๆ ให้เกิดการเปลี่ยนแปลง และสิ่งที่เกิดตามมาจากการเปลี่ยนแปลงเรียกว่า ผล

                ในบางครั้ง ผล ที่เกิดขึ้นก็มีส่วนต่อการเปลี่ยนแปลงที่จะเกิดขึ้นต่อไปอีกด้วย ลักษณะเช่นนี้เรียกว่า การสะท้อนกลับ เช่น การเคลื่อนที่ของลูกกอล์ฟในอากาศ มีเหตุมาจากการถูกตีทำให้เกิดการเคลื่อนที่ ในขณะเดียวกัน การเคลื่อนที่ของลูกกอล์ฟก็เป็นเหตุให้เกิดแรงต้านอากาศ มีผลต่อการเคลื่อนที่แบบไร้ระเบียบได้

ระบบที่แกว่งไปมา (Oscillating system) หน้า ๒๑

                หมายถึงวัตถุที่มีการเคลื่อนที่มีการเคลื่อนที่กลับไปกลับมา เช่น การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มนาฬิกาเป็นต้น ถ้าลูกตุ้มนาฬิกาเคลื่อนที่อย่างช้า ๆ จะเป็นการเคลื่อนแบบมีคาบ  การเคลื่อนที่รวดเร็วแล้ว จะมีแรงต้านอากาศซึ่งเป็นแรงสะท้อนกลับ ทำให้ลูกตุ้มนาฬิกามีการเคลื่อนที่แบบไร้ระเบียบได้

หน้า 199

 

จำนวนเชิงซ้อน (Complex number) หน้า ๒๔

                จำนวนเชิงซ้อนคือ ตัวเลขสองมิติประกอบไปด้วย มิติของเลขจริง และมิติของเลขจินตภาพ เขียนอยู่ในรูป z = x +yi เมื่อ x เป็นตัวเลขในแกนจริงและ y  เป็นเลขในแกนจินตภาพ เช่น จำนวนเชิงซ้อน  3+5i มีเลขแกนจริงเป็น 3 และเลขแกนจินตภาพเป็น 5

                ตัว i  นั้นอาจจะมองว่าเป็นตัวกำกับแกน คือแสดงให้รู้ว่า ตัวเลขที่ติดกันนั้นหมายถึงเลขในแกนจินตภาพ ในทางคณิตศาสตร์นั้น ตัว i  จะมีคุณสมบัติต่าง ๆ เหมือนตัวเลขโดยที่ i2  มีค่าเท่ากับ -1

กระแสข้อมูลที่ถูกแบ่งออกเป็นห้วง ๆ

(The information in discreter packets) หน้า ๓๐

                กระแสข้อมูล หมายถึงข้อมูลที่ได้รับหรือเกิดขึ้นอย่างต่อเนื่อง เช่นกระแสข้อมูลของสภาพอากาศทีมีการวัดอยู่อย่างต่อเนื่องทุกวัน หรือทุก ๆ หนึ่งชั่วโมง หรือทุก ๆ นาทีเป็นต้น

                เมื่อเราโทรศัพท์ ก็จะมีข้อมูลถูกส่งมาจากเครื่องโทรศัพท์ต้นทางไปยังเครื่องปลายทางอยู่ตลอด ข้อมูลนี้เป็นกระแสข้อมูล

                กระแสข้อมูลที่ถูกแบ่งออกเป็นห้วง ๆ ก็คือ การตัดแบ่งบางส่วนของกระแสข้อมูลทั้งหมดออกมา เช่น แบ่งเอากระแสข้อมูลพยากรณ์อากาศตั้งแต่หนึ่งหนึ่งถึงยี่สิบสี่นาฬิกา จำนวนยี่สิบสี่ชั่วโมง ออกมาเป็นห้วง ๆ จำนวนสองห้วง ได้กระแสข้อมูลของแต่ละห้วง ยาวสิบสองชั่วโมง

 

ตัวดึงตูด (Attractor) หน้า ๔๕

                ในการบรรยายการเคลื่อนที่ของระบบบนพื้นที่สถานภาพนั้น จะเห็นได้ว่า จุดที่แสดงคุณสมบัติของระบบที่มีการเคลื่อนที่แบบเป็นรอบจะเคลื่อนที่ไปรอบ ๆ เป็นวง ระบบที่มีการเปลี่ยนแปลงมาก ย่อมจะเคลื่อนที่เป็นวงกว้าง และระบบที่มีการเปลี่ยนแปลงน้อยๆ จะเคลื่อนที่เป็นวงเล็กๆ วงนี้จะเล็กลงไปเรื่อย ๆ จนเป็นจุด  สำหรับระบบที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลง หรืออยู่ในสมดุล และเราก็ทราบกันดีว่า ระบบจะพยายามปรับตัวเข้าหาสมดุล นั่นคือ พยายามเคลื่อนที่เข้าหาจุดดังกล่าวนี้นั่นเอง จุดนี้จึงดูเหมือนว่า มีการดึงดูดให้เคลื่อนที่เข้าหากัน จึงมีอีกชื่อหนึ่งว่า ตัวดึงดูด

 

กึ่งเป็นรอบ (Quasiperiodic) หน้า ๕๐

                คือสภาพการเคลื่อนที่ที่เป็นรอบ (ดู การเคลื่อนที่แบบเป็นรอบ) คือมีการเคลื่อนที่กลับมาอยู่ในสภาพที่ใกล้เคียงกับจุดเริ่มต้น เมื่อเวลาผ่านไประยะหนึ่ง ซึ่งก็คือ คาบของการเคลื่อนที่นั่นเอง เช่นการเคลื่อนที่ของแมลงวันที่บินวนไปมา ซึ่งดูผิวเผินแล้วจะคิดว่า แมลงวันบินกลับมาที่เดิม แต่ที่จริงแล้วมันเพียงแค่บินมาใกล้ ๆ ที่เดิมมาก ๆ จนแยกไม่ออกเท่านั้น แต่ไม่เคยซ้ำที่เดิมเลย อย่างไรก็ตามพบว่า เวลาที่ใช้ในการบินกลับมาใกล้ ๆ ที่เดิม จะเป็นระยะเวลาที่คงที่ เรียกว่า คาบของการเคลื่อนที่เกือบเป็นรอบหรือกึ่งเป็นรอบ

 

เงื่อนไขเริ่มแรก (Initial condition) หน้า ๕๑

                หมายถึง สภาพเริ่มต้นของการเคลื่อนไหวหรือการเปลี่ยนแปลง เช่น เมื่อโยนก้อนหินขึ้นจากพื้นจะต้องมีเงื่อนไขเริ่มต้นคือ ความเร็วต้น มุมที่โยน เป็นต้น ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงเงื่อนไขเริ่มต้นคือ การเปลี่ยนแปลงค่าของความเร็วต้น หรือเปลี่ยนแปลงมุมที่โยนนั่นเอง การเปลี่ยนแปลงความเร็วต้น จะเปลี่ยนแปลงค่าเริ่มต้นนี้ จะส่งผลต่อผลสุดท้ายของการเปลี่ยนแปลง เช่น การเปลี่ยนแปลงความเร็วต้น จะเปลี่ยนแปลงความสูงที่ก้อนหินจะถูกโยนขึ้นไปได้ โดยปกติแล้ว การเปลี่ยนแปลงค่าเริ่มต้นเพียงเล็กน้อย จะส่งผลต่อผลสุดท้ายเพียงเล็กน้อย เช่น เพิ่มความเร็วต้นไปนิดหน่อย ก็จะทำให้ความสูงที่จะโยนขึ้นไปได้เพิ่มขึ้นนิดหน่อย

                แต่ในกรณีของการเคลื่อนที่แบบไร้ระเบียบนั้นพบว่า หากเปลี่ยนแปลงค่าเริ่มต้นไปเพียงเล็กน้อย ก็จะทำให้ผลลัพธ์สุดท้ายเปลี่ยนแปลงไปอย่างมากได้ เช่น เราอาจจะคิดว่าเมฆฝนนั้นเกิดจากไอน้ำที่ระเหยจากน้ำทะเล การเปลี่ยน แปลงปริมาณน้ำที่ระเหยก็จะทำให้ปริมาณเมฆฝนเปลี่ยนแปลงไป ดังนั้น ปริมาณน้ำที่ระเหยก็เป็นค่าเริ่มต้นอย่างหนึ่งของเมฆฝน พบว่าการที่ปริมาณน้ำทะเลที่ระเหยเพิ่มขั้นหรือลดลงเพียงเล็กน้อยก็อาจทำให้ปริมาณเมฆฝนเพิ่มขึ้นหรือลดลงเป็นจำนวนมาก ซึ่งอาจจะเปลี่ยนแปลงสภาพอากาศจากสภาพสดใสไปเป็นพายุฝนฟ้าคะนองได้    

 

หน้า 200

เอนโทรปี (entropy)     หน้า ๗๒

                เอนโทรปีคือ ปริมาณที่แสดงความไม่เป็นระเบียบของระบบ ตามทฤษฎีอุณหพลศาสตร์นั้น เมื่อใดที่มีการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้น เอนโทรปีรวมของสิ่งต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวจะเพิ่มขึ้นเสมอ ดูตัวอย่างจากความไม่เป็นระเบียบภายในห้องเป็นต้น จะพบว่า ของใช้ที่มีการจัดระเบียบไว้ดีแล้วจะมีความยุ่งเหยิงขึ้น หากเราพยายามจัดให้ห้องมีระเบียบมากขึ้น เราจะต้องใช้แรงงานและมีความเหน็ดเหนื่อย แสดงให้เห็นว่าร่างกายของเรามีความยุ่งเหยิงเพิ่มขึ้น ถึงแม้ว่าเอนโทรปีของห้องจะน้อยลง และเอนโทรปีของเราที่เข้าไปเกี่ยวข้องจะสูงขึ้น และให้เอนโทรปีรวมของห้องและของเราเองสูงขึ้นด้วย

 

เวลาที่ย้อนกลับได้ (Reversible time) กับ เวลาที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ (Irreversible time)                 หน้า ๗๔

                เวลาเป็นสิ่งที่เรารู้สึกได้ว่ามีอยู่และดำเนินไปทางเดียว (จากอดีตสู่อนาคต) ความสามารถรับรู้ได้นี้มาจากกลไกการทำงานของสมอง สมองทำการประมวลผลของข้อมูลที่ได้จากประสาทสัมผัส แล้วเก็บข้อมูลความรู้เหล่านี้ไว้ โดยการปรับปรุงและเปลี่ยนแปลงโครงข่ายประสาทในสมองใหม่ ความยุ่งเหยิงหรือเอนโทรปีของสมองจะเพิ่มขึ้นเสมอและสมองก็รับรู้เวลาได้จากเอนโทรปีนี้เอง

                หากเอนโทรปีเป็นเครื่องหมายบอกเวลาแล้ว จะเป็นไปได้หรือไม่ที่เวลาจะย้อนกลับ? หากพิจารณาดูจากพื้นฐานของเอนโทรปีภายใต้ทฤษฎีกลศาสตร์สถิติแล้วพบว่า เอนโทรปีจะเพิ่มขึ้นเสมอก็ต่อเมื่อเราทำการเฉลี่ยเหตุการณ์เล็ก ๆ น้อย  ๆ ที่เกิดขึ้นในช่วงสั้น ๆ เมื่อใดแล้วจะพบว่า ไม่มีความแตกต่างใดเลยระหว่างทิศทางที่เอนโทรปีจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง เราเรียกลักษณะเช่นนี้ว่า การกวัดแกว่งของเอนโทรปี นั่นคือ เอนโทรปีจะลดลงบ้างและเพิ่มขึ้นบ้าง แต่ตอนที่เพิ่มขึ้นนั้นจะเกิดขึ้นบ่อยกว่า ทำให้เมื่อเฉลี่ยจำนวนมากพอแล้วจะหักล้างเอนโทรปีส่วนที่ลดลงไปจนหมดจึงดูเหมือนว่าในช่วงสั้น ๆ นั้นเวลาจะย้อนกลับได้ แต่เมื่อเฉลี่ยจำนวนมากพอแล้ว เวลาจะดำเนินไปในทางเดียว หรือเวลาที่ไม่สามารถย้อนกลับได้เกิดจากผลเฉลี่ยของเวลาที่ดำเนินไปทั้งสองทิศทางนั่นเอง

               

ความไร้ระเบียบคือลูกศรแห่งกาลเวลา

(Chaos is the arrow of time) หน้า ๗๕

                ดังที่กล่าวมาในเรื่องเอนโทรปีจะเห็นได้ว่า เอนโทรปีจะเพิ่มขึ้นตามกาลเวลา ดังนั้นหากเราทำการเปรียบเทียบเอนโทรปีก็จะทราบว่า สิ่งใดเกิดก่อนหรือเกิดทีหลัง ดังนั้นเอนโทรปีจึงเป็นเสมือนสิ่งแสดงทิศทางของกาลเวลานั่นเอง

 

หม้อต้มน้ำของความไร้ระเบียบ (Cauldrons of chaos) หน้า ๘๙

                เมื่อเราต้มน้ำในหม้อนั้น ความร้อนจะทำให้น้ำซึ่งแต่เดิมนิ่งอยู่อย่างเป็นระเบียบเดือดขึ้นมา และมีการเคลื่อนที่อย่างปั่นป่วนไร้ระเบียบ แต่ต่อมาเมื่อน้ำเดือดจนทั่วแล้วจะเห็นการสร้างรูปแบบโครงสร้างที่เป็นระเบียบเกิดขึ้นอีก (ดูห้า ๗๕-๗๖ ประกอบ)  เอกภพก็ถูกเปรียบเปรยในทำนองเดียวกันกับหม้อต้มน้ำ เพราะโมเลกุลต่าง ๆ ในเอกภพที่เคลื่อนที่อย่างไร้ระเบียบ สามารถผสมผสานกันจนสร้างโครงสร้างใหม่ที่ซับซ้อนกว่า (ดาว,การแลกซี่, กระจุกดาว เป็นต้น) แต่มีระเบียบขึ้นมาใหม่ได้

หน้า 201

 

การบรรสานสอดคล้องกัน (Resonance) หน้า ๙๑

                เชื่อว่าทุกคนคงจะเคยโล้ชิงช้า จำได้ไหมว่า หากเราโยกชิงช้าในจังหวะเดียวกับการเคลื่อนที่ของชิงช้าแล้ว ชิงช้าจะแกว่งสูงขึ้น ในทำนองเดียวกัน หากเราโยกในทิศตรงกันข้าม ชิงช้าจะแกว่งช้าลง หากเราโยกในจังหวะที่ไม่สำพันธ์กับการเคลื่อนที่ของชิงช้าแล้ว ชิงช้าจะแกว่งเร็วขึ้นบ้างและช้าลงบ้าง ลักษณะเดียวกันนี้แสดงให้เห็นได้ว่า จังหวะที่บรรสานสอดคล้องกันระหว่างการกระตุ้นและการตอบสนอง จะทำให้การตอบสนองเกิดขึ้นอย่างเต็มที่ที่สุด

               

วัตถุดำ (Black body) หน้า ๙๙

                วัตถุดำหมายถึง วัตถุที่ดูดกลืนรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าได้ทั้งหมดในทุก ๆ ย่านความถี่ที่ตกกระทบ นอกจากวัตถุดำจะดูดกลืนทุก ๆ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่ตกกระทบแล้วพบว่ามันยังปลดปล่อยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าออกมาในทุกย่านความถี่อีกด้วย

                อย่างไรก็ตามไม่ใช่ว่าทุก ๆ ความถี่จะถูกปลดปล่อยออกมาในปริมาณที่เท่ากัน การทดลองพบว่า คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่ความถี่ต่ำมาก ๆ และสูงมาก ๆ จะถูกปลดปล่อยออกมาเพียงเล็กน้อย (โดยปกติ ปริมาณที่ปลดปล่อยจะบรรยายในเทอมของความหนาแน่นพลังงานซึ่งก็คือ ปริมาณพลังงานต่อความถี่นั่นเอง) แต่จะมีความถี่กลาง ๆ ที่ปลดปล่อยออกมาในปริมาณมาก หรือมีความหนาแน่นพลังงานสูง จะมีความถี่ค่าหนึ่ง ๆ ที่ความหนาแน่นพลังงานที่ปล่อยออกมามีค่าสูงสุด และความถี่นี้จะเพิ่มขึ้นตามอุณหภูมิ

 

เศรษฐกิจไร้น้ำหนัก (Weightless economy) หน้า ๑๐๖

                หมายถึง ตลาดของสินค้าที่ไม่ต้องอาศัยเครื่องผลิตมูลค่าสูง ตัวอย่างเช่น ตลาดงานบริการ เป็นต้น

 

การบริหารธุรกิจแบบผลตอบแทนที่ลดลง (Diminishing return) หน้า ๑๐๘

                ในการบริหารธุรกิจนั้น จะมีปัจจัยสองประการคือ ปัจจัยคงที่หมายถึงปัจจัยที่ไม่ขึ้นกับปริมาณการผลิต และปัจจัยผันแปร ซึ่งเป็นปัจจัยที่เปลี่ยนไปตามปริมาณการผลิต ตัวอย่างของปัจจัยคงที่ คือ พื้นที่โรงงาน ซึ่งหากเราต้องการเพิ่มปริมาณการผลิตจะทำได้โดยการเพิ่มระยะเวลาการผลิต โดยไม่ต้องเพิ่มพื้นที่โรงงาน ส่วนตัวอย่างของปัจจัยผันแปร คือ จำนวนแรงงานในการผลิต เป็นต้น

                การบริหารธุรกิจแบบผลตอบแทนลดลงจะหมายถึง วิธีการบริหารธุรกิจเพื่อเพิ่มปริมาณการผลิต โดยการเพิ่มปริมาณปัจจัยผันแปร เช่น แรงงาน ในขณะที่ตรึงปัจจัยทีมีต้นทุนสูง เช่น พื้นที่โรงงาน ให้เป็นปัจจัยคงที่ เพราะแรงงานไม่สามารถทำงานได้อย่างเต็มที่ ทำให้ผลกำไรต่อปริมาณสินค้าลดลง (แต่ถึงอย่างไรก็ตาม เขาก็จะได้ผลกำไรทั้งหมดเพิ่มขึ้นอยู่ดี)

               

หน้า 202

 

การบริหารธุรกิจแบบผลตอบแทนที่เพิ่มขึ้น (Increasing return) หน้า ๑๐๘

                หมายถึง การบริหารธุรกิจโดยการทุ่มทุนในการวิจัย และพัฒนาคุณภาพสินค้าให้สูงกว่าตลาดทำให้ทุนในการผลิตสูง ส่งผลให้ผลกำไรต่อปริมาณสินค้าน้อยในตอนแรก แต่ต่อมาการผลิตจะไม่ต้องอาศัยทุนในการวิจัยอีก ทำให้ต้นทุนต่อปริมาณสินค้าลดลง และมีผลกำไรมากขึ้นในตอนหลัง

 

สมมติฐานการแข่งขันอย่างสมบูรณ์ตามแนวนีโอคลาสสิค (The neo – classical assumption of perfect competition) หน้า ๑๑๖

                หมายถึง การแข่งขันที่ตลาดมีขนาดที่โตกว่ากำลังการผลิต ในขณะที่คุณภาพของปัจจัยการผลิตจะต้องบรรลุถึงจุดสูงสุด ลักษณะเช่นนี้ ตลาดจะไม่ถูกยั่วยวนจากคุณภาพการผลิตและความนิยมในยี่ห้อสินค้า ผู้ผลิตทุกคนจะขายสินค้าได้เต็มอัตราที่ผลิต เมื่อกำลังการผลิตเพิ่มขึ้นสองเท่าจะขายสินค้าได้หมดเป็นสองเท่าด้วย

                หากคุณภาพของปัจจัยการผลิต เช่น จำนวนแรงงาน ไม่อยู่ในจุดสูงสุดแล้ว การเพิ่มหรือลดจำนวนแรงงานจะมีผลต่อคุณภาพ หรือความสามารถของแรงงานด้วย ทำให้ปริมาณการผลิตไม่เป็นไปในสัดส่วนเดียวกันกับปริมาณแรงงาน ดังนั้น หากเพิ่มแรงงานขึ้นเท่าตัว ผลผลิตอาจไม่เพิ่มขึ้นเป็นเท่าตัวด้วย

คาบทวีคูณ (Period doubling) หน้า ๑๓๖

                กระแสข้อมูลที่ได้จากการคำนวณซ้ำตนเองนั้น สามารถมีลักษณะเป็นรอบได้ เช่นค่าที่ได้จากการคำนวณซ้ำจากสมการ x n + 1= a xn (1-xn)   เมื่อ  a = 3.2 นั้นจะเห็นได้ว่า  x จะเปลี่ยนค่าไปมาดังนี้ 0.799455,0.513045,0.799445,0.513045,... ซึ่งเป็นรอบด้วยคาบเท่ากับ 2 เมื่อเพิ่มค่า a  ไปเรื่อย ๆ จะยังคงพบว่า มีลำดับทีมีคาบเป็น 2 จนกระทั่งเมื่อ a มีค่ามากกว่า 3.45 จะพบว่ามีลำดับเปลี่ยนไปมาเป็นดังนี้ 0.433992,0.847468,0.445968,0.852428,0.433992,0.847468,0.445968, 0.852428 , 0.433992,0.847468,0.445968,0.852428,...ซึ่งเป็นลำดับซ้ำเติมที่มีคาบเป็น 4 หรือคาบเป็นสองเท่ากับคาบเดิม และเมื่อเพิ่มค่า a ไปอีกจะยังคงมีคาบเป็น 4 จนกระทั่ง มากกว่า 3.55 ลำดับจะเปลี่ยนไปมีคาบสองเท่าของคาบเดิมคือ มีคาบเป็น 8 ลำดับเช่นนี้เรียกว่า มีพฤติกรรมแบบคาบทวีคูณ

หน้า 203

คำอธิบายภาพ

หน้า ๑๐

                แสดงภาพให้เห็นถึงลักษณะการเปลี่ยนแปลงสองลักษณะ คือ การเปลี่ยนแปลงแบบปกติหรือคาดการณ์ได้ เช่น การเปลี่ยนแปลงจากทารกไปเป็นเด็ก และโตขึ้นเป็นผู้ใหญ่ จนกระทั่งถึงวัยชรา

                อีกลักษณะของการเปลี่ยนแปลงไปเป็นเถ้าหรือเน่าเปื่อย จนไม่อาจจะคาดเดาลักษณะที่จะเปลี่ยนไปได้

 

หน้า ๒๔

                แสดงภาพของเรขาคณิตเสี้ยวส่วน และความไร้ระเบียบในธรรมชาติใกล้ตัวเรานั่นคือ เกล็ดหิมะ        จะมีลักษณะของเรขาคณิตเสี้ยวส่วน ส่วนเส้นแสดงความดันบนแผนที่สภาพภูมิอากาศ จะไม่สามารถคาดเดาลักษณะในเวลาต่อมาได้ เพราะความไม่แน่นอนเพียงเล็กน้อยในสภาพอากาศปัจจุบัน จะส่งผลให้เกิดความแตกต่างของลักษณะของเส้นเหล่านี้ได้อย่างมากมาย

 

หน้า ๒๖

                แสดงภาพให้เห็นถึงเส้นกราฟสองเส้น ลักษณะคล้ายคลื่นที่เริ่มต้นที่จุดล่างซ้ายขึ้นไปยังด้านบนขวามือ กราฟทั้งสองมีความแตกต่าง ณ จุดเริ่มต้นเพียงเล็กน้อย แต่เมื่อเส้นกราฟดำเนินต่อไปยังด้านบนขวา จะเห็นความแตกต่างที่มากขึ้นอย่างรวดเร็ว จนกระทั่งมีลักษณะตรงข้ามกันได้ในเวลาอันรวดเร็ว ในสภาพนี้เรียกว่า สภาพไร้ระเบียบ หรือ chaos

 

หน้า ๕๙

                แสดงลักษณะกึ่งคาบของการเคลื่อนไหว ภาพประกอบไปด้วยเส้นโค้งแสดงการเคลื่อนไหวสามเส้น เส้นด้านใน เส้นระหว่างกลาง และเส้นด้านนอก เส้นระหว่างกลางจะเป็นเส้นแสดงการเคลื่อนไหวแบบมีคาบ กล่าวคือ มีการเคลื่อนที่แบบคาบรอบซ้ำรอยเดิมในขณะที่เส้นด้านในและเส้นด้านนอกจะไม่ซ้ำรอยเดิม แต่มีเส้นทางที่ใกล้เคียงกับเส้นที่มีคาบ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีลักษณะการเคลื่อนที่เกือบซ้ำรอยเดิม ลักษณะเช่นนี้เรียกว่า การเคลื่อนที่แบบกึ่งคาบ

หน้า 204

หน้า ๗๐

                ในหน้านี้จะกล่าวถึงดุลยภาพและการเปลี่ยนผ่าน ระหว่างความมีระเบียบกับความไม่มีระเบียบ มีภาพแสดงสองภาพคือ ภาพด้านบนแสดงดุลยภาพของระบบ ระบบในที่นี้แสดงถึงประชากร ในสภาพสมดุลนั้น จำนวนประชากรในระบบจะไม่เปลี่ยนรวมถึงจำนวนประชากรที่วัยต่าง ๆ กันก็คงที่ด้วย

                ในสภาพวะที่ห่างไกลจากดุลยภาพ เช่น ในสภาวะที่จำนวนประชากรที่เกิดใหม่ต่างจากจำนวนประชากรที่แก่ตายไปเป็นอย่างมากนั้น จำนวนประชากรในระบบจะเปลี่ยนแปลงไป หากประชากรในวัยเยาว์จะมีแนวโน้มสูงขึ้น  หากประชากรที่แก่ตายมาก ๆ แล้วจำนวนประชากรในวัยเยาว์จะมีแนวโน้มสูงขึ้น หากประชากรที่เกิดใหม่มีน้อยกว่าประชากรในวัยเยาว์จะมีแนวโน้มสูงขึ้น หากประชากรที่เกิดใหม่มีน้อยกว่าประชากรที่แก่ตาย จะทำให้ประชากรสูงวัยมีจำนวนลดลง ระบบจะไม่คงตัว จะมีการเปลี่ยนแปลงหรือมีพลวัตขึ้น จะมีการจัดกลุ่มเพื่อทำหน้าที่ควบคุมประชากร หรือมีการควบคุมประชากรโดยธรรมชาติ เช่นสภาพแออัดทำให้สภาพแวดล้อมเสื่อมโทรมก่อให้เกิดโรคระบาด เป็นต้น จนต้องเกิดการจัดกลุ่มเพื่อกำจัดโรคต่อไปอีก

 

                โครงสร้างประชากรมีการจัดระเบียบใหม่ และเกิดความวุ่นวายสลับไปมาอย่างคาดเดาได้ยาก โครงสร้างที่เกิดขึ้นใหม่นี้จะขับเคลื่อนได้ด้วยพลังงาน ทำให้มองได้ว่า โครงสร้างระบบใหม่นี้เป็นตัวกระจายพลังงานหรือเงินทุนออกไปเรียกว่า โครงสร้างกระจัดกระจาย เช่น แรงเสียดทานเป็นโครงสร้างที่กระจายความร้อนออกไป เป็นต้น

 

หน้า ๗๑

                สื่อถึงลำดับของเหตุการณ์ที่ต้องบ่งบอกได้ด้วยสิ่งที่เรียกว่า เวลา เป็นที่ทราบกันในเชิงฟิสิกส์ว่า เวลาจะดำเนินไปในทิศทางที่เอกภพหรือระบบปิดมีความยุ่งเหยิง หรือเอนโทรปีมากขึ้น พริโกจินต้องการอธิบายว่า โครงสร้างที่มีระเบียบใหม่นี้ถูกสร้างขึ้นเองได้อย่างไร เพราะระบบเองจะดำเนินไปตามลำดับที่มีความเป็นระเบียบน้อยลง สิ่งที่เขาต้องแสดงให้เห็นก็คือ การสร้างโครงสร้างใหม่ที่มีระเบียบนั้นจะทำให้สิ่งแวดล้อมมีความยุ่งเหยิงมากขึ้นกว่าเดิม เช่น มีการกระจัดกระจายความร้อน หรือมีการกระจัดกระจายเงินทุนออกไปนั่นเอง

 

หน้า ๗๒

                แสดงภาพให้เห็นแนวความคิดของพริโกจินที่กล่าวว่า การดำเนินไปในทางเดียวนั้น เกิดจากการดำเนินกลับไปมาได้ทั้งสองทิศทาง เช่นเดียวกันกับล้อรถที่หมุนไปข้างหน้าได้และหมุนถอยหลังกลับได้ แต่การหมุนไปข้างหน้าที่มากกว่าการถอยหลัง จะทำให้รถเคลื่อนที่ไปข้างหน้าทางเดียวได้

 

หน้า ๗๓

                แสดงลำดับที่คาดเดาได้จากทิศทางของเวลาที่ดำเนินไปตามการเพิ่มขึ้นของความยุ่งเหยิง การเปลี่ยนแปลงในทางเดียวนี้เป็นที่เข้าใจได้

หน้า 205

หน้า ๗๙

                แสดงเส้นแยกของเมย์ (ดูรายละเอียดในหน้า ๖๔) จะเห็นได้ว่าในช่วงต้นนั้น เส้นแยกจะแยกจาก หนึ่งเป็นสอง สี่ แปด ...จนในที่สุดกลายเป็นเส้นทึบหรือไร้ระเบียบ จากนั้น จะเห็นเป็นช่องว่างอีกครั้ง แต่มีเส้นปรากฏอยู่ในช่วงว่างสามเส้น หลังจากช่องว่างสั้น ๆ จะปรากฏเป็นเส้นทึบของความไร้ระเบียบอีกครั้ง แต่หากขยายกราฟต่อไปอีก จะเห็นช่องว่างที่มีเส้นแห่งความเป็นระเบียบห้าเส้น เจ็ดเส้น ... สลับกับความไร้ระเบียบ

 

                กราฟดังกล่าวนี้ แสดงให้เห็นตามแนวความคิดของเทียน เยียน ลี และเจมส์ ยอค ว่าในช่วงของความไร้ระเบียบ จะมีการจัดระเบียบซ่อนอยู่ด้วยคาบเป็นเลขคี่

 

หน้า ๙0

                แสดงภาพดาวเคราะห์สามดวง ชี้ให้เห็นถึงปัญหาของดาวสามดวงที่ทราบกันดีว่าถึงแม้เราจะสามารถคาดการณ์ล่วงหน้าถึงการเคลื่อนที่ระหว่างดาวสองดวงได้อย่างแม่นยำเพียงใดก็ตาม ปวงกาเรพบว่า หากเปลี่ยนเป็นดาวสามดวงแล้ว จะไม่สามารถคาดการณ์ถึงตำแหน่งที่แน่นอนของดาวแต่ละดวงได้อย่างแม่นยำ เพราะการเปลี่ยนแปลงจุดเริ่มต้นของดาวแต่ละดวงเพียงเล็กน้อย จะเปลี่ยนแปลงตำแหน่งสุดท้ายของการเคลื่อนที่ได้อย่างมากมาย

 

หน้า ๙๒

                ภาพแสดงวงโคจรของมวลสองก้อนเล็ก ๆ รวบมวลก้อนใหญ่ ซึ่งเป็นปัญหาของมวลสามก้อน ภาพต้องการแสดงให้เห็นว่า เมื่อคาบวงโคจรของมวลก้อนเล็กทั้งสองก้อนรอบมวลใหญ่มีอัตราส่วนต่อกันอย่างง่ายแล้ว จะทำให้วงโคจรของมวลทั้งสองก้อนนี้ไม่เสถียร โดยจะกวัดแกว่งไปมาไม่ซ้ำรอยเดิม

 

หน้า ๙๙

                แสดงภาพจินตนาการของพลังค์ ที่ได้ตัดแบ่งพลังงานของรังสีที่มีอย่างต่อเนื่องออกเป็นก้อน ๆ ที่มีขนาดแปรผันตรงกับความถี่ของรังสี ค่าคงที่ของการแปรผัน เรียกว่า ค่าคงที่ของพลังค์

 

หน้า ๑๐๑

               

                แสดงภาพของ หลุยส์ เดอ บรอก์ย ที่เป็นคนคิดค้นว่า อนุภาคแสดงความเป็นคลื่นได้ และ แอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ ที่ค้นพบสมการคลื่นตามแนวความคิดของเดอ บรอก์ย และมักซ์ บอร์น ที่เป็นคนเข้าใจความหมายของฟังก์ชั่นคลื่นที่ได้จากสมการคลื่นของชเรอดิงเงอร์

                ภาพยังได้แสดงให้เห็นการนำแนวความเป็นคลื่น โดยโคจรอยู่ในระยะที่ทำให้คลื่นของมันบรรสานสอดคล้องกัน หรือมีจำนวนลูกคลื่นที่เป็นจำนวนเต็ม สมการที่อยู่ใต้ภาพของชเรอดิงเงอร์ เป็นสมการคลื่นที่เขาคิดค้นขึ้นมา ส่วนภาพจุดใต้รูปของมักซ์บอร์นเป็นจุดที่แสดงโอกาสที่จะพบกับอิเล็กตรอนที่ตำแหน่งต่าง ๆ ตามแนวความคิดของเขา

หน้า 206

 

หน้า ๑๐๒

                แผนภาพในหน้านี้ ชี้ให้เห็นการเชื่อมต่อกันระหว่างขอบเขตของฟิสิกส์แบบเก่า (Classical) กับฟิสิกส์ควอนตัม (Quantum) สิ่งที่ผู้เขียนต้องการให้มองคือ ถึงแม้พฤติกรรมของอนุภาคภายใต้ขอบเขตฟิสิกส์เก่า และขอบเขตของควอนตัมมีความเป็นระเบียบที่ดีมาก กล่าวคือ สามารถทำนายปรากฏการณ์ได้อย่างแม่นยำแล้ว แต่ความเป็นระเบียบในขอบเขตทั้งสองนี้ก็แตกต่างกัน นั่นคือ ความสามารถทำนายผลลัพธ์ได้ในทุก ๆ การทดลอง แต่ความสามารถในการคาดการณ์ในขอบเขตควอนตัมจะหมายถึงการที่เราสามารถทำนายค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ที่ได้จากการทดลองแบบเดียวกันหลาย ๆ ครั้ง โดยแต่ละครั้งของการทดลองจะไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ออกมาได้

 

                ความเป็นระเบียบที่แตกต่างกันในขอบเขตที่แต่งต่างกันนี้ อาจจะถูกทำลายลงในขณะที่อยู่ในรอยต่อของทั้งสองขอบเขต (ผลลัพธ์ของการศึกษานี้ ปรากฏอยู่ในหน้า ๑๐๕)

 

หน้า ๑๑๑

                แสดงกราฟความสัมพันธ์ของราคาและผลผลิตที่จำหน่ายได้ ที่มีลักษณะของความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงตามทฤษฎีเศรษฐกิจเดิม

 

หน้า ๑๓๖

                แสดงภาพสถาปัตยกรรมแบบบารอค ที่ย่อส่วนเอาภาพโครงสร้างขนาดใหญ่มาใส่ซ้อนเข้าไปเป็นรายละเอียดในส่วนหนึ่งของโครงสร้างดังกล่าว เช่น นำเอกลักษณะของโครงสร้างของชั้นอาคารมาย่อส่วนเป็นราวระเบียงภายในชั้นนั้น เป็นต้น