Home arrow บทความทั้งหมด arrow บทความฟิสิกส์ arrow เวกเตอร์และการเคลื่อนที่
Home    Contacts



เวกเตอร์และการเคลื่อนที่ PDF พิมพ์

 

ผลคูณของเวกเตอร์เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)

 

ในที่นี้หมายถึงผลคูณระหว่างเวกเตอร์ 2 อัน ซึ่งสามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภทคือ
1) ผลคูณเชิงสเกลาร์ (scalar product หรือ dot product)
2) ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (vector product หรือ cross product)

ผลคูณเชิงสเกลาร์

กำหนดให้ \vec{A} และ \vec{B} เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ \theta เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์ทั้งสองนิยามโดย

\vec{A}\cdot\vec{B} \equiv |A||B|\cos\theta

คุณสมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์

\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{B}\cdot\vec{A}

\vec{A}\cdot(\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A}\cdot\vec{B} +\vec{A}\cdot\vec{C}

ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย \hat{i},\hat{j},\hat{k} ที่ควรทราบคือ

\hat{i}\cdot\hat{i} =\hat{j}\cdot\hat{j} = \hat{k}\cdot\hat{k} = 1

\hat{i}\cdot\hat{j} =\hat{i}\cdot\hat{k} = \hat{j}\cdot\hat{k} = 0

ผลคูณเชิงเวกเตอร์

ให้ \vec{A} และ \vec{B} เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 3 มิติ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของทั้งคู่ จะเป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่สัมผัสกับเวกเตอร์ \vec{A} และ \vec{B}

6862

สมมุติว่าผลลัพธ์ของการคูณคือ \vec{C} เราจะหาทิศของ \vec{C} ได้โดยอาศัย “กฎมือขวา” ซึ่งมีหลักง่ายๆ คือให้นิ้วทั้งสี่ของมือขวาชี้ตามทิศของเวกเตอร์ \vec{A} และวนนิ้วทั้งสี่เข้าหาเวกเตอร์ \vec{B} ตามทิศทางที่เวกเตอร์ทั้งสองทำมุมระหว่างกันมีค่าน้อยที่สุด นิ้วหัวแม่มือจะชี้ทิศของเวกเตอร์ลัพธ์ \vec{C} ดังแสดงในรูป

6863

โดยที่ขนาดของเวกเตอร์ของ \vec{C}\equiv \vec{A}\times\vec{B} สามารถหาได้จาก

|C| \equiv |A||B|\sin\theta

เมื่อ \theta เป็นมุมระหว่าง \vec{A} และ \vec{B}

เพื่อความสะดวกในการคำนวณเรามักจะเขียน \vec{A} และ \vec{B} ในรูปของส่วนประกอบเวกเตอร์ ตามทิศทางของเวกเตอร์ฐาน \hat{i},\hat{j},\hat{k}

\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}

\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}

นิสิตอาจจะลองใช้กฎมือขวาพิจารณาผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์ \hat{i},\hat{j},\hat{k} ซึ่งจะพบว่า

\hat{i}\times\hat{j} =\hat{i}\times\hat{k} = \hat{j}\times\hat{k} = 0

\hat{i}\times\hat{j} = -\hat{j}\times\hat{i} = \hat{k}

\hat{j}\times\hat{k} = -\hat{k}\times\hat{j} = \hat{i}

\hat{k}\times\hat{i} = -\hat{i}\times\hat{k} = \hat{j}

ข้อดีของคุณสมบัติข้างบนคือ นิสิตสามารถใช้คุณสมบัติข้างบนคำนวณผลคูณเชิงเวกเตอร์ของ \vec{A} และ \vec{B} ใดๆได้ดังนี้

\vec{A}\times\vec{B} = (A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k})\times(B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}) = (A_yB_z-B_yA_z)\hat{i} + (A_zB_x-B_xA_z)\hat{j} + (A_xB_y-B_xA_y)\hat{k}

ซึ่งสามารถคำนวณได้จากดีเทอร์มิแนนท์

<br />
\vec{A}\times\vec{B} =<br />
\begin{vmatrix}<br />
\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \<br />
A_{x} & A_{y} & A_{z} \<br />
B_{x} & B_{y} & B_{z}<br />
\end{vmatrix}<br />
= (A_yB_z-B_yA_z)\hat{i} + (A_zB_x-B_xA_z)\hat{j} + (A_xB_y-B_xA_y)\hat{k}

คุณสมบัติทั่วไปของผลคูณเชิงเวกเตอร์ ที่เป็นประโยชน์คือ

\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}

m\left(\vec{A}\times\vec{B}\right)=\left(m\vec{A}\right)\times\vec{B}=\vec{A}\times\left(m\vec{B}\right)

\vec{A}\times\left(\vec{B}+\vec{C}\right)=\left(\vec{A}\times\vec{B}\right)+\left(\vec{A}\times\vec{C}\right)

\vec{A}\times\left(\vec{B}\times\vec{C}\right)=\left(\vec{A}\cdot\vec{C}\right)\vec{B}+\left(\vec{A}\cdot\vec{B}\right)\vec{C}

\left(\vec{A}\times\vec{B}\right)\times\vec{C}=\left(\vec{A}\cdot\vec{C}\right)\vec{B}+\left(\vec{B}\cdot\vec{C}\right)\vec{A}

\vec{A}\cdot\left(\vec{B}\times\vec{C}\right)=\left(\vec{C}\times\vec{A}\right)\cdot\vec{B}=\left(\vec{A}\cdot\vec{B}\right)\cdot\vec{C}

เมื่อ m เป็นปริมาณสเกลลาร์

ตัวอย่าง
เวกเตอร์ \vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} และ เวกเตอร์ \vec{B} = -5\hat{j} + 12\hat{k}
จงหา

ก) ขนาดของ \vec{A} และ \vec{B}

|A| = \sqrt{3^2 + 4^2}=5
|B| = \sqrt{5^2 + 13^2}=13

ข) ผลคูณเชิงสเกลลาร์ของเวกเตอร์ทั้งสอง

\vex{A}\cdot\vec{B} = (3\hat{i} + 4\hat{j})\cdot(\vec{B} = -5\hat{j} + 12\hat{k})=-20

ค) มุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง
จาก
\vec{A}\cdot\vec{B} = |A||B|\cos\theta

จะได้ \displaystyle{\cos\theta = \frac{\vec{A}\cdor\vec{B}}{|A||B|} = -\frac{4}{13}}

นั่นคือมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองจะมีค่า \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{4}{13}\right)

ง) ผลคูณเชิงเวกเตอร์

\vec{A}\times\vec{B} =
\begin{vmatrix}
\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \
3 & 4 & 0 \
0 & -5 & 12
\end{vmatrix}= 48\hat{i} - 36\hat{j} -15\hat{k}  
 


 
< ก่อนหน้า   ถัดไป >
สถิติผู้เยี่ยมชม: 42586763
ขณะนี้มี 5 บุคคลทั่วไป ออนไลน์

สมัครสมาชิก
เพื่อรับเอกสารเพิ่ม!