Home arrow บทความทั้งหมด arrow บทความฟิสิกส์ arrow เวกเตอร์และการเคลื่อนที่
Home    Contacts



เวกเตอร์และการเคลื่อนที่ PDF พิมพ์

 

องค์ประกอบของเวกเตอร์, scalar และ การเปลี่ยนพิกัด

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)

ถ้า \vec{A} เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ |A| โดยที่ |A| ต้องไม่เป็นศูนย์ เราสามารถนิยามเวกเตอร์ที่มีทิศเดียวกันกับ \vec{A} แต่มีขนาดหนึ่งหน่วยได้

นิยาม
ถ้ากำหนดให้ \hat{a} คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของ \vec{A} แล้วจะได้ว่า \displaystyle{\hat{a} = \frac{\vec{A}}{|A|}} หรือ \vec{A} = |A|\hat{a}
6809
เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่สำคัญมากคือ เวกเตอร์ชุด \hat{i}, \hat{j} และ \hat{k} ซึ่งมีคุณสมบัติพิเศษดังนี้
1. เวกเตอร์หนึ่งหน่วยทั้งสามตั้งฉากกัน
2. โดยทั่วไปถือว่าเวกเตอร์ทั้งสามนี้เป็น เวกเตอร์คงที่ คือนอกจากขนาดจะคงที่แล้วทิศทางยังคงที่ด้วย
3. ในปริภูมิ 3 มิติเวกเตอร์ชุดนี้เรียงลำดับ ตามกฎมือขวา ดังรูปข้างล่างนี้
6810

ส่วนประกอบของเวกเตอร์

เวกเตอร์ใดๆสามารถที่จะเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของเวกเตอร์ย่อยๆ หลายๆอันได้ โดยเราอาจเลือกเวกเตอร์ย่อยเหล่านั้นให้อยู่ในทิศเดียวกัน กับ unit vectors \hat{i} , \hat{j} และ \hat{k} ซึ่งในกรณีนี้เราเรียกเวกเตอร์ย่อยเหล่านี้ว่า “ส่วนประกอบของเวกเตอร์” หรือ Components of vector วิชานี้เราจะพิจารณาส่วนประกอบของเวกเตอร์ในกรณีของ 2 และ 3 มิติ

ส่วนประกอบเวกเตอร์ใน 2 มิติ

ให้ \vec{A} เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ 2 มิติ ซึ่งมีขนาดเท่ากับ |A| โดยที่ \hat{i},\hat{j} เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามแกน x และ y ตามลำดับ

\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}
6811
นิยาม A_x กับ A_y เป็นส่วนประกอบเวกเตอร์ตามแนว x และ y

ถ้า \theta เป็นมุมที่เวกเตอร์ \vec{A} กระทำกับแกน x เราจะได้ว่า

A_x = |A|\cos\theta และ A_y = |A|\sin\theta และ |A| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}

ส่วนประกอบเวกเตอร์ใน 3 มิติ

ให้ \vec{A} เป็นเวกเตอร์ในระบบ 3 มิติ ที่มีขนาด |A|
และมี A_x, A_y, A_z เป็นส่วนประกอบเวกเตอร์
6812

ความแตกต่างระหว่างองค์ประกอบของเวกเตอร์กับปริมาณสเกลลาร์

นิสิตบางคนอาจจะสับสนระหว่าง องค์ประกอบของเวกเตอร์กับปริมาณสเกลลาร์ ซึ่งถ้ายึดนิยามที่ว่าปริมาณสเกลลาร์คือปริมาณที่มีแต่ขนาดและไม่มีทิศทางอาจทำให้สับสนว่าองค์ประกอบเวกเตอร์เป็นปริมาณสเกลลาร์ ซึ่งไม่ใช่ ดังนั้นนิยามที่ชัดเจนของปริมาณสเกลลาร์และเวกเตอร์จึงน่าจะเป็นประโยชน์ ซึ่งอาจจะพิจารณาได้จากตัวอย่างต่อไปนี้
6848
พิจารณาวัตถุซึ่งอยู่ที่ตำแหน่ง A เวกเตอร์ซึ่งบอกตำแหน่ง ที่จุด A สามารถเขียนในพิกัดสองมิติบนระนาบ x-yได้เป็น
\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k} = |A|\cos\phi\hat{i} + |A|\sin\phi\hat{j}

เมื่อ |A| คือขนาดของเวกเตอร์ \vec{A} และ \hat{i},\hat{j} , \hat{k} คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในพิกัด x-y

โดยทั่วไปแล้วเราไม่จำเป็นต้องบรรยายปรากฏการณ์ต่างๆด้วยกรอบอ้างอิงเดียว สำหรับผู้สังเกตหลายคนแต่ละคนอาจจะทำการทดลองโดยใช้กรอบอ้างอิงของตัวเอง อย่างไรก็ตามผลทางฟิสิกส์ย่อมจะไม่ขึ้นกับพิกัด หรือกรอบอ้างอิงที่ใช้ นิสิตจะเห็นความสำคัญของหลักการนี้มากขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเราพิจารณาทฤษฎีสัมพัทธภาพ
6849
กลับมาที่ตัวอย่างข้างต้น สมมุติว่ามีเพื่อนของเราอีกคนหนึ่งใช้พิกัดที่ต่างกับเรา (พิกัด x’-y’) ซึ่งสัมพันธ์กับพิกัดเดิมโดยการหมุนแกน x-y ไปเป็นมุม \beta ดังรูป จะสามารถบรรยายตำแหน่งของจุด A ด้วยเวกเตอร์บอกตำแหน่ง \vec{A} เช่นเดิม แต่ในพิกัดใหม่ x’-y’ นี้ \vec{A} จะสามารถเขียนได้เป็น

\vec{A} = A'_{x}\hat{i}' + A'_y\hat{j}' =
|A|\cos(\phi-\beta)\hat{i}' + |A|\sin(\phi-\beta)\hat{j}'

เมื่อ A'_x และ A'_y คือองค์ประกอบเวกเตอร์ตามแนวแกน x’ และ y’ ส่วน \hat{i}' และ \hat{j}' คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในพิกัดใหม่

จากรูปจะเห็นว่า A _x \ne A'_{x} และ A _y \ne A'_{y} นี่คือความจริงที่ว่า องค์ประกอบของเวกเตอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ เมื่อมีการเปลี่ยนพิกัด นิสิตอาจจะพิสูจน์ได้ง่ายๆว่าขนาดของเวกเตอร์ซึ่งเป็นปริมาณสเกลลาร์จะไม่มีการเปลี่ยนแปลง

|A| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{ A'_{x}^2 + A'_{y}^2}

นิยามของปริมาณสเกลลาร์ที่รัดกุมขึ้น คือปริมาณที่มีแต่ขนาดไม่มีทิศทาง และไม่เปลี่ยนแปลง ภายใต้การแปลง coordinates ตัวอย่างเช่น มวลของอนุภาค เป็นปริมาณสเกลาร์ ไม่ว่าจะใช้ Coordinates ใดอธิบายก็มีค่าเท่าเดิม
6850
สิ่งที่นิสิตควรจะทราบคือในกลศาสตร์นิวตัน เวลา (t) และ ช่วงเวลา (\Delta t) ถือเป็นปริมาณสเกลลาร์ เวลาสำหรับทุกๆผู้สังเกตผ่านไปด้วยอัตราเร็วเท่ากัน นั่นคือเวลาเป็นสิ่งสมบูรณ์ (absolute quantity) แต่ในทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ซึ่งเราจะได้ศึกษากันต่อไป เหตุการณ์ต่างๆ ซึ่งเป็นจุดหนึ่งใน space-time 4มิติ ช่วงเวลา \Delta t กลายเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ (Four-vectors) ซึ่งขึ้นกับกรอบอ้างอิงของผู้สังเกต และไม่ใช่สิ่งสมบูรณ์อีกต่อไป อย่างไรก็ตาม มวลนิ่ง (rest mass) ของวัตถุ และอัตราเร็วของแสง ยังคงเป็นปริมาณสเกลลาร์ มีค่าไม่เปลี่ยนแปลงไปตามกรอบอ้างอิงของผู้สังเกต


 
< ก่อนหน้า   ถัดไป >
สถิติผู้เยี่ยมชม: 43196614
ขณะนี้มี 2 บุคคลทั่วไป ออนไลน์

สมัครสมาชิก
เพื่อรับเอกสารเพิ่ม!