science-new - ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเบื้องต้น: หน้า 8

การวัดความยาว

ในการวัดความยาวของวัตถุใดๆ เราจะต้องวัดที่ตำแหน่งปลายทั้งสองของวัตถุที่เวลาเดียวกัน (พร้อมกันในกรอบอ้างอิงที่เราวัด) เนื่องจากความพร้อมกันของเหตุการณ์ใดๆ เป็นเหตุการณ์สัมพัทธ์ ดังนั้นความยาวจึงเป็นปริมาณสัมพัทธ์ด้วย

การวัดความยาวประกอบด้วย 2 เหตุการณ์
- เหตุการณ์แรก เกิดที่

- เหตุการณ์ที่สอง เกิดที่

โดยมีเงื่องไขว่า

ความยาวของวัตถุคือ

สำหรับผู้สังเกตที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับไม้บรรทัด เราจะเรียกว่าผู้สังเกตในกรอบอ้างอิง $S^\prime$ ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว

เทียบกับ

ในกรอบ $S^\prime$ จะวัดได้ความยาวของวัตถุ

$\left\{ \begin{array}{ll}x^\prime_1 = \gamma(x_1 - vt_1) \ x^\prime_2 = \gamma(x_2 - vt_2) \end{array} \right.$

$\displaystyle{x^\prime_2 - x^\prime_1 = \gamma[(x_2 - x_1) - v\underbrace{(t_2 - t_1)}_{= 0}]}$

$\Delta x^\prime = \gamma\Delta x$ หรือ $\displaystyle{\Delta x = \frac{\Delta x^\prime}{\gamma}}$

การหดของระยะทาง
จากความสัมพันธ์ $\Delta x = \frac{\Delta x^\prime}{\gamma}$ เราสามารถเขียนได้ใหม่เป็น

$\displaystyle{L = \frac{L_0}{\gamma}}$

$\Delta x = L$ คือความยาวของไม้บรรทัดที่กำลังเคลื่อนที่โดยผู้สังเกต
$\Delta x^\prime = L_0$ คือความยาวของไม้บรรทัดที่วัดโดยผู้สังเกต $S^\prime$ ซึ่งเคลื่อนที่ไปพร้อมกับไม้บรรทัด
เนื่องจากผู้สังเกตในกรอบ $S^\prime$ จะเห็นไม้บรรทัดหยุดนิ่งเทียบกับเขา ซึ่งก็สามารถสรุปได้ว่า $\Delta x^\prime$ คือความยาวของไม้บรรทัดเมื่ออยู่นิ่งนั่นเอง และ

$\gamma \geq 1 \qquad\Longrightarrow\qquad L \leq L_0$

จะเห็นว่าวัตถุที่เคลื่อนที่จะมีความยาวน้อยกว่าความยาวที่วัดได้เมื่อวัตถุอยู่นิ่งเสมอ

ตัวอย่าง
ยานอวกาศลำหนึ่งมีความยาวขณะหยุดนิ่งเท่ากับ 130 เมตร วิ่งผ่านสถานีอวกาศซึ่งอยู่นิ่ง ด้วยความเร็ว

จงหา
a) ความยาวของยานอวกาศที่ผู้สังเกตบนสถานีอวกาศวัดได้
b) เวลาที่ยานอวกาศเดินทางผ่านสถานีอวกาศซึ่งวัดโดยผู้สังเกตบนสถานีอวกาศ
( เริ่มวัดจากเวลาที่หัวยานวิ่งมาถึงจนถึงเวลาที่ท้ายยานวิ่งผ่านไป )

วิธีทำ

a) เวลาที่ยานอวกาศเดินทางผ่านสถานีอวกาศสำหรับผู้สังเกตบนสถานีเขาจะเห็นความยาวของยานอวกาศเมื่อหยุดนิ่ง (ซึ่งเท่ากับความยาวของยานอวกาศที่วัดโดยผู้สังเกตที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับยาน) คือ $L_0 = 130 \;m$

ความยาวของยานอวกาศที่วัดโดยผู้สังเกตบนสถานีอวกาศคือ

b) เวลาที่ยานอวกาศใช้ในการวิ่งผ่านสถานีคือ

$\displaystyle{\Delta t = \frac{L}{v} = \frac{87.4}{0.740 \times 3.00 \times 10^8} = 3.94 \times 10^{-7} \;s}$

สถิติผู้เยี่ยมชม

ผู้เยี่ยมชม: 11733231 คน