science-new - ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเบื้องต้น: หน้า 4

สัมพัทธภาพพิเศษของไอน์สไตน์

ในช่วงศตวรรษที่ 19 แม็กซเวลซ์ ได้ค้นพบทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า

สมการของแม็กซ์เวลซ์ทั้ง 4 สมการบอกเราว่า
- เคลื่อนแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นคลื่นการสั่นของสนามแม่เหล็กและสนามไฟฟ้า
- ความเร็วของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ามีค่าคงที่ ในสุญญากาศ มีค่าเท่ากับ

$\displaystyle{c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}}}$ $\simeq 3\times10^8\;m/s$

การค้นพบของแม็กซเวลซ์สร้างความสงสัยให้กับนักฟิสิกส์สมัยนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาที่ว่า …คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเคลื่อนที่ในสุญญากาศได้อย่างไร? เพราะตามความเข้าใจของนักฟิสิกส์สมัยนั้น คลื่นทุกชนิดต้องอาศัยตัวกลางในการเคลื่อนที่ แต่เนื่องจากนิยามของสุญญากาศ (Vacuum) คือบริเวณที่ไม่มีอะไรเลย ถ้าเป็นเช่นนั้นแล้วอะไรเป็นตัวกลางให้คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (ตัวกลางอะไรที่สั่น)

Maxwell เสนอว่าตัวกลางที่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเคลื่อนที่คือ อีเทอร์ (Aether)
- อวกาศไม่ได้เป็นที่ว่าง ที่บรรจุเต็มด้วยอีเทอร์
- เคลื่อนแม่เหล็กไฟฟ้าเคลื่อนที่โดยมีการสั่นของตัวกลางคือ อีเทอร์

นักฟิสิกส์หลายต่อหลายคนพยายามทดลองหา อีเทอร์ …. แต่ไม่มีใครพบ

นิสิตอ่านประวัติการทดลองได้ในหนังสือฟิสิกส์ 2 เช่น การทดลองของ Michelson ที่พยายามใช้ Interferometer วัดการเคลื่อนที่ของโลกผ่านอีเทอร์

Michelson คาดว่าจะเห็นการแทรกสอด และ จะวัดอัตราเร็วของโลกที่เคลื่อนผ่านอีเทอร์ แต่ …เขาไม่พบปรากฏการณ์ดังกล่าว มีอีกหลายการทดลองที่พยายามแก้ข้อผิดพลาดของ Michelson แต่ก็ไม่มีใครตรวจพบอีเทอร์

จวบจนกระทั่งไอน์สไตน์ได้เสนอแนวคิดใหม่ในปี ค.ศ. 1905
-ไม่มีอีเทอร์
- อัตราเร็วแสงในสุญญากาศมีค่าคงที่สำหรับทุกๆผู้สังเกต

นับจากนั้นทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษก็ถือกำเนิดขึ้น …

สัจพจน์ (Postulates) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

1. กฎเกณฑ์ทางฟิสิกส์เหมือนกันในทุกๆกรอบอ้างอิงเฉื่อย (สัมพัทธภาพแบบกาลิเลโอ)
2. อัตราเร็วของแสงในสุญญากาศมีค่าคงที่สำหรับทุกๆผู้สังเกต ( $c\simeq3\times10^8\;m/s$ )

กรอบอ้างอิงเฉื่อย (Inertial reference frame)
• ผู้สังเกตไม่จำเป็นต้องอยู่นิ่ง อาจจะเคลื่อนที่ก็ได้ เราเรียกผู้สังเกตที่กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ว่า อยู่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย
• ในสัมพัทธภาพพิเศษส่วนใหญ่เราจะพิจารณาผู้สังเกตในกรอบอ้างเฉื่อย
• ความเร่ง = แรงโน้มถ่วง เป็นเนื้อหาของ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

รอเรียนในชั้นปี 4 …มีสอนในภาควิชาฟิสิกส์ หรือ มาคุยกับผมนอกชั่วโมงเรียน …

การคงที่ของอัตราเร็วแสงกับความสมบูรณ์ของเวลา

ในตอนที่ผ่านมาผมได้กล่าวไว้ว่า กลศาสตร์แบบนิวตัน และสัมพัทธภาพแบบกาลิเลโอนั้น เวลาถือว่าเป็นสิ่งสมบูรณ์ คือสำหรับทุกๆผู้สังเกตเวลาจะเดินไปด้วยอัตราเร็วที่เท่ากัน หนึ่งวินาทีของผู้สังเกตคนหนึ่งก็จะมีช่วงเวลาที่ยาวนานเท่ากับหนึ่งวินาทีของผู้สังเกตคนอื่นๆ แต่ในตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่า ผลจากสัจพจน์ของสัมพัทธภาพพิเศษจะทำให้เวลาไม่ใช่สิ่งสมบูรณ์อีกต่อไป

พิจารณาผู้สังเกต

และ $S^\prime$ ที่อธิบายปรากฎการณ์ต่างๆโดยใช้ coordinates

และ $(x^\prime,y^\prime,z^\prime,t^\prime)$ ตามลำดับ

สมมุติว่ากรอบอ้างอิง

อยู่นิ่ง และผู้สังเกตในกรอบนี้ตรวจพบว่ามีหลอดไฟดวงหนึ่งวางอยู่ที่ตำแหน่ง

และ

และมีเครื่องตรวจวัดแสงวางอยู่ที่พิกัด

ถ้าหลอดไฟดังกล่าวกระพริบแสงออกมาชั่วขณะหนึ่ง คลื่นแสงที่ออกมามีหน้าคลื่นเป็นผิวของทรงกลม ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเท่ากับ

(ดูจากด้านซ้ายของภาพข้างบน) ให้คลื่นแสงนี้ถูกปล่อยออกจากหลอดไฟเวลา

และเคลื่อนที่มากระทบกับเครื่องวัดแสงเมื่อเวลา

วินาที

สำหรับผู้สังเกต

ระยะทางที่แสงเคลื่อนที่ได้ในช่วงเวลา $\Delta t = t - 0$ คือ

ขนาดของระยะทาง (ลูกศรสีดำ) ในกรอบอ้างอิงนี้มีจะค่าเท่ากับ

สมมุติให้ผู้สังเกต $S^{\prime}$ ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่

ในทิศทาง

เทียบกับ

เห็นหลอดไฟวางอยู่ที่ตำแหน่ง $x^\prime = 0$ , $y^\prime = 0$ และ $z^\prime = 0$ และเครื่องตรวจวัดแสงวางอยู่ที่ตำแหน่ง $(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$ เพื่อความสะดวกสมมุติให้เขาเห็นคลื่นแสงถูกปล่อยออกจากหลอดไฟเวลา $t^\prime = 0$ และเคลื่อนที่มากระทบกับเครื่องวัดแสงเมื่อเวลา $t^\prime = t^\prime$ วินาที (รูปขวามือของภาพข้างบน)

เราจะได้ว่าผู้สังเกตในกรอบ $S^\prime$ จะวัดระยะทางที่แสงวิ่งได้ในช่วงเวลา $\Delta t^{\prime} = t^{\prime} - 0$ ได้เป็น $ct^{\prime}$

ระยะทางที่แสงเคลือนที่วัดโดยผู้สังเกตในกรอบอ้างอิงนี้ (ลูกศรสีดำ) มีค่าเท่ากับ

$(ct^{\prime})^2 = (x^{\prime} - 0)^2 + (y^{\prime} - 0)^2 + (z^{\prime} - 0)^2$

$(ct^\prime)^2 - [(x^\prime)^2 + (y^\prime)^2 + (z^\prime)^2] = 0 \;\;\; \cdots (2)$

จากการแปลงแบบกาลิเลโอ (Galilian transformation) เราพบว่า

ซึ่งถ้านำไปแทนค่าในสมการ (2) แล้วนำด้านซ้ายของสมการ (1) และ (2) เปรียบเทียบกันเราจะพบว่า

ซึ่งเราจะสรุปได้ว่า $ct^{\prime} \neq ct$ และถ้ากำหนดว่าอัตราเร็วของแสงในทั้งสองกรอบอ้างอิงมีค่าเท่ากันเราจะได้ว่า $t^{\prime} \neq t$

นั่นคือผู้สังเกตทั้งสองเห็นเหตุการณ์เดียวกันที่เวลาต่างกัน (เหตุการณ์ที่แสงเคลื่อนที่ถึงเครื่องวัด) หรืออาจจะกล่าวได้ว่า เวลาไม่ใช่สิ่งสมบูรณ์ อีกต่อไป

เพื่อความสอดคล้องกันของผู้สังเกตทั้งสองคน จาก (1) และ (2) เราจะได้ว่า

$(ct^{\prime})^2 + (x^{\prime})^2 - (y^{\prime})^2 - (z^\prime)^2 = (ct)^2 + (x)^2 - (y)^2 - (z)^2$

ซึ่งจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อเรากำหนดให้ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดในกรอบอ้างอิงทั้งสองเป็นไปตาม

$\displaystyle{t = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}(t^\prime + \frac{vx^\prime}{c^2})}$