ผู้สังเกต กรอบอ้างอิง และ การแปลง

ดังที่กล่าวไปแล้วว่า การจะบรรยายสภาพการเคลื่อนที่ของวัตถุเราต้องอ้างอิงหรือสัมพัทธ์กับสิ่งใดสิ่งหนึ่งเสมอ โดยปกติจะเลือกจุดอ้างอิงที่หยุดนิ่งเทียบกับผู้สังเกตหรือประมาณได้ว่าหยุดนิ่ง เช่น ดาวที่ระยะไกลๆจากโลก เป็นต้น การบรรยายการเคลื่อนที่ของวัตถุต่างๆ ก็จะบรรยายโดยอ้างอิงกับจุดที่หยุดนิ่งนั้น

ในกลศาสตร์แบบนิวตันการเลือกจุดอ้างอิงที่หยุดนิ่งนั้นอาจเรียกได้ว่าเป็นการเลือกกรอบอ้างอิงเฉื่อยสำหรับผู้สังเกต โดยตำแหน่งและการเคลื่อนที่ของวัตถุสามารถบรรยายได้โดยอาศัย พิกัด (Coordinates) ของกรอบอ้างอิงนั้นๆ และ สำหรับผู้สังเกตที่อยู่ในกรอบอ้างอิงต่างกัน ไม่จำเป็นจะต้องใช้ พิกัด เดียวกันมาอธิบายฟิสิกส์

ตัวอย่างเช่น ผู้สังเกตสองคน คนหนึ่งอยู่ที่ตำแหน่ง และอีกคนหนึ่งอยู่ที่ตำแหน่ง ทั้งสองใช้พิกัด และ ตามลำดับ ซึ่งตำแหน่งของบ้านในพิกัด และ ไม่จำเป็นต้องเป็นตำแหน่งเดียวกัน

Events และ Space-time coordinates

ในการบรรยายการเคลื่อนที่ของวัตถุนั้น ข้อมูลตำแหน่งของวัตถุเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะบรรยายการเคลื่อนที่ได้ เราต้องทราบด้วยวัตถุอยู่ที่ตำแหน่งนั้นๆ ที่เวลาใดด้วย นั่นคือต้องบอกข้อมูลทั้งตำแหน่งของวัตถุและเวลาที่วัตถุอยู่ ณ. ตำแหน่งนั้น เช่น รถยนต์จอดอยู่หน้าบ้านที่เวลาเที่ยงตรงเป็นต้น

วิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งในการบรรยายการเคลื่อนที่ของวัตถุคือ บรรยายโดยใช้พิกัดกาล-อวกาศ หรือ space-time coordinates ดังเช่นรูปข้างล่าง จุดต่างๆบนแผนภาพนี้ไม่ได้แทนตำแหน่งพิกัดบน space เท่านั้น แต่ยังแทนเวลาด้วย จุดที่อยู่คนละตำแหน่งบนแผนภาพนี้ อาจจะอยู่ที่พิกัดบน space ที่ตำแหน่งเดียวกัน แต่คนละตำแหน่งเวลาก็ได้

เรานิยามเหตุการณ์ หรือ Event ว่าเป็นจุดๆหนึ่งบน space-time
ใช้สัญลักษณ์

หลักสัมพัทธภาพกาลิเลโอ (อีกครั้ง)

หลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ กล่าวถึงผู้สังเกต 2 คน ซึ่งเคลื่อนที่สัมพัทธ์กันด้วยความเร็วคงที่ ในทางคณิตศาสตร์ ผู้สังเกตแต่ละคนอธิบายฟิสิกส์ใน กรอบอ้างอิงของตัวเอง โดยเราอาจจะให้ผู้สังเกตคนแรกอยู่ในกรอบอ้างอิง และใช้ coordinates ผู้สังเกตคนที่สอง อยู่ในกรอบอ้างอิง และใช้ coordinates หลักสัมพัทธภาพของกาลิเลโอบอกเราว่า ฟิสิกส์จะเหมือนกันไม่ว่าจะใช้กรอบอ้างอิง(เฉื่อย)แบบไหนก็ตาม

เราจะเชื่อมโยงเหตุการณ์ต่างๆในกรอบอ้างอิงทั้งสองได้อย่างไร?

การแปลงแบบกาลิเลโอ (Galilean transformation)

ในตอนนี้เราจะศึกษาความสัมพันธทางคณิตศาสตร์ที่เชื่อมโยงระหวางพิกัดของกรอบอ้างอิงเฉือยแต่ละกรอบ พิจารณาผู้สังเกตสองคนในกรอบอ้างอิง และ ตามลำดับ กำหนดให้กรอบอ้างอิง เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว เทียบกับกรอบอ้างอิง ตามแนวแกน (อาจมองว่ากรอบ อยู่นิ่งเพื่อความสะดวก)

จากภาพข้างบน ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัด และ สามารถหาได้จาก

ซึ่งเราเรียกความสัมพันธ์ดังกล่าวว่า การแปลงแบบกาลิเลโอ หรือ Galilean transformation

การรวมความเร็วในสัมพัทธภาพแบบกาลิเลโอ

นิยามของความเร็วสำหรับผู้สังเกตในกรอบอ้างอิง คือ

นิยามของความเร็วสำหรับผู้สังเกตในกรอบอ้างอิง คือ

จาก การแปลงแบบกาลิเลโอ

หาความเร็วจะได้

แต่สัมพัทธภาพแบบกาลิเลโอ “เวลาเป็นสิ่ง สมบูรณ์”

ดังนั้นจะได้ว่า

นอกจากนี้

ทั้งหมดนี้คือความเร็วสัมพัทธ์ตามแนวแกน และ ตามลำดับ


ตัวอย่าง
ถ้าผู้สังเกตในรถสีแดงที่หยุดนิ่งอยู่ เห็นรถสีฟ้าและสีดำวิ่งแข่งกันด้วยความเร็วดังรูป

จงหาว่าผู้สังเกตในรถคนสีฟ้า จะเห็นรถคันสีดำวิ่งด้วยความเร็วเท่าไหร่ ?

วิธีทำ

- ให้ผู้สังเกตในรถสีแดงอยู่ในกรอบอ้างอิง
- ความเร็วของรถสีดำที่ เขาเห็นคือ , ความเร็วของรถสีฟ้าที่ เขาเห็นคือ
- ผู้สังเกตในรถสีฟ้าอยู่ในกรอบอ้างอิง ความเร็วของรถสีดำที่ เขาเห็นคือ

จาก

จะได้ว่า

คำถาม ผู้สังเกตที่อยู่บนรถสีดำจะเห็นรถสีรถสีฟ้าวิ่งด้วยความเร็วเท่าไร?